ФОРЕКС БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ


Броуновское движение

Самой простой (и, как следствие, наиболее привлекательной) моделью случайной флуктуации (колебаний) является «броуновское движение»; в такой модели постулируется непрерывность цен и то что, их последовательные изменения суть независимые гауссовские случайные величины (где предшествующие изменения цены не связаны с прошлыми или будущими ее изменениями ), т.е. рынок не обладает памятью, он воспринимает вновь поступившую информацию и мгновенно забывает о прошлых событиях. Пример броуновского движения можно увидеть на рис.22.

В броуновском движении независимы не положения частицы в разные моменты времени — смещение частицы в течении одного промежутка времени не зависит от ее же смещения в течение другого интервала времени. Увеличив разрешение микроскопа и временное разрешение, мы вновь получим подобное случайное блуждание, броуновское движение самоподобно! (рис.23).

На рис.23 показаны положения частицы регистрируемые на каждом втором шаге процесса из 10000 независимых шагов движения частицы. Каждое приращение (интервал) здесь — сумма 2-х независимых шагов. Этот рисунок показывает, как координата частицы меняется со временем 2t. Кривая представляет собой дискретный набор точек с определенным временным интервалом, между их фиксацией рис.24.

На рис.25 показаны положения частицы регистрируемые на каждом четвертом шаге процесса из 10000 независимых шагов движения частицы. Как видно, что рис.25 мало чем отличается от рис.26, разве, что временным масштабом приращений, которые теперь стали вдвое больше. На грубом примере это можно представить, как если бы мы в первом случаи при фиксации точек отрывали карандаш на 2 секунды, а во втором на 4. Свойство броуновских диаграмм не менять «вида» при изменении разрешения называется масштабной инвариантностью броуновских диаграмм.

Для тех кто не видит схожести между рисунками я сделал рис.26, для того чтобы было более понятно, что они действительно похожи. О том почему я так перевернул рис.26 мы поговорим в главе «Зеркальность биржевых цен».


И так давайте подведем небольшой итог выше сказанному. Броуновское движение не зависит от прошлых событий, однако оно самоподобно в течении одного, независимого от другого, промежутка времени. Как видно из рис.23,25 они очень напоминают ход биржевых цен. Пока мы можем только сказать, что есть схожесть, но броуновское движение описывается нормальным распределением (рис.20), которое не соответствует реальному поведению цен.

Если теория предельной центральной теоремы постулирует непрерывность цен, то значения цен встречающиеся в действительности таковыми не являются. При этом каждый раз когда цена терпит сильный разрыв (рис.27), к хвостам распределения изменения цены добавляется новая точка. Это говорит о том что симптом «длинных хвостов» тесно связан с симптомом «разрывности в цене».

Имея дело с котировками на валютном рынке надо быть готовым встретить скачки, которые сохраняют свое значение даже с долговременной точки зрения. Теоретическое обоснование выше сказанному можно подтвердить на следующих примерах: и спрос, и предложение, определяющие цену, определяются как объективными факторами, так и предчувствиями.

Давайте разберемся, как же может быть так, что цены все же являются броуновским движением, но при этом будут иметь распределение изображенное на рис.20 Для того, что бы ответить на поставленную нами задачу нам необходимо познакомиться с показателем Херста.

Гарольд Эдвин Херст (1880-1978) — английский физик, ставший великим «нилологом» и заслуживший прозвище Абу Нил, «отец Нила». Наука обязана ему одним замечательным статистическим изобретением и одним замечательным эмпирическим (практическим) открытием, которые связаны с идеей об измерении интенсивности некоторой хроники (событий) стремиться быть циклической, но НЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ, — поведение, представляющее собой один из аспектов долговременной статистической зависимости прошлого от будущего.

Здесь мы вспомним про нашу частицу, движение которой представляется броуновским. Мы помним, что координаты частицы в одном промежутке времени подобны ее же координатам в другом промежутке, однако появление циклов носит не периодический характер, т.е мы не знаем дальнейшее положение частицы через определенное время t.

Херст, не отдавая себе в этом отчета, ввел новую статистическую технику, основанную на выражении R(t, d)/S(t, d). Этот метод был назван R/S анализ. В данной книге мы не будем разбирать этот метод, поскольку он не имеет прямого отношения к нашей с вами задаче, для тех кому интересно применение данного анализа к биржевым ценам, могут прочесть Эдгара Петерса «Фрактальный анализ финансовых рынков». Нас же больше интересует результат, который получил Херст, используя данный метод.

Эмпирическое открытие Херста состоят в том, что диаграммы R/S, относящиеся к эмпирическим хроникам, в общем случае состоят из кривых, тесно обвивающих некоторую прямую, но УГОЛ наклона Н этой прямой изменяется от случая к случаю. Проще говоря различные кривы ведут себя очень по — разному, они располагаются вблизи некоторой прямой, угол наклона которой, Н, зачастую превосходит 0,5 (т.е не соответствует нормальному распределению). Показатель Херста изображен на рис.28.

Волнистой линей изображен временной ряд (совокупность наблюдаемых параметров изучаемой системы во времени) цен. Прямая линия представляет собой показатель Н (Херста) расположенную под углом со значением 0,5


Когда Н = 0,5 график будет соответствовать нормальному распределению и являться случайным. Если 0 0,5, исключает гипотезу о том, что все величины являются независимыми и гауссовскими, а феномен Херста есть ни что иное как проявление самоафинности.

Что такое самоафинность мы рассмотрим в разделе курса 4 «Генератор — золотой Грааль на рынке», сейчас нас больше интересует такое понятие, как: обобщенное броуновское движение.

Обобщенное броуновское движение было введено Мандельбротом через обобщение случайной функции X(t) (случайные блуждания) путем замены показателя Н = 0,5 на любое действительное число из интервала 0

Броуновское движение

Иллюзии техничского анализа, или «опять броуновское движение»

  • 12 августа 2020, 14:14
  • |
  • xfo
  • Печать


В дополнение к этому посту
smart-lab.ru/blog/343711.php
Возможно, я напишу очевидные вещи.

Многие знают про сравнение рынков и броуновского движения, но приверженцев технического анализа это не задевает. Кто-то считает его лженаукой, и я в целом тоже. А кто-то — если не наукой, то искусством, только очень субъективным. Одна фигура «двойная перевёрнутая жопа с ручкой» чего стоит. По нему написаны тонны макулатуры, по нему даже есть вопросы в экзамене ФСФР, звиздец 🙂

Ни разу не слышал, чтобы крупные алгоритмические хедж-фонды с сотнями математиков и программистов и миллиардными доходами заморачивались техническим анализом или занимались гаданием на кофейной гуще. Грубо говоря, всё, что они делают, — статистический арбитраж, т.е. тот самый поиск рыночных неэффективностей. В книге «Кванты» об этом написано. В общем, ничего нового.

Почему рынки стремятся к броуновскому движению? Очень просто. Мы зарабатываем на разности цен — купили дешевле, продали дороже. Я не математик и не буду тут какие-то выкладки делать, поэтому берём самый простой случай. На одном тике мы должны купить или продать, на следующем — закрыть сделки. Т.е. нам надо предсказать РАЗНИЦУ между двумя тиками. Что невозможно предсказать? Любое случайное число. Чтобы не было выгоды ни покупателям, ни продавцам, матожидание случайной величины должно быть равно 0. Т.е. берём процесс I(0) — это последовательность случайных чисел с матожиданием 0, а I(1) — её интеграл, который мы видим на графиках. Если это будет другой процесс, слишком многие начнут зарабатывать, пока всё опять не выровняется.

У I(1) есть свойство: фрактальная размерность = 0.5, т.е. ось Y, она же волатильность, раздувается пропорционально квадратному корню оси X, т.е. времени. Процесс с размерностью 0 соответствует белому шуму, 0.25 — розовому, 0.5 — красному (обычно пишут Brown — только это значит не «коричневый», хотя по цвету подходит, а Броуновский), 1 — чёрному, -0.25 или -0.5 (не помню) — голубой. Белый, розовый и красный шум можно сгенерить в звуковом редакторе. Сами по себе шумы определяются через спектральную плотность на логарифмической шкале, но связь с фрактальной размерностью прямая. Есть ещё определения через индекс Хёрста или ещё какие индексы. На самом деле это всё одно и то же, просто разные системы координат.

Когда я вижу, как в книжках по эконометрике всё исследуют и исследуют какие-то характеристики случайных процессов (обычно околоброуновских, на которых нельзя заработать), не могу понять, зачем весь этот математический онанизм? Авторы этой херни придумали какую-то стратегию, что-то заработали на рынке? Зачем надо так усиленно изучать рынок, которого нет, и на котором ты не собираешься заработать (потому что его нет и потому что на нём в принципе нельзя заработать)?

Каюсь, сам когда-то пытался создать стратегию заработка на броуновском движении. Ну, хорошо, доказал кто-то там в 19 веке, что это невозможно. А вдруг возможно? 🙂 Ну, небольшой результат есть: после прочтения книг про фрактальную размерность, индекс Хёрста и цвета шумов пришёл к выводу, что можно заработать на любом не-броуновском шуме, т.е. с размерностью, отличной от 0.5. Просто для разных коэффициентов нужны разные стратегии. Говоря по-человечески, меньше 0.5 — контртрендовые, больше 0.5 — трендовые 🙂 На самом деле, ничего удивительного, т.к. для всех таких процессов первая разность (т.е. то, что мы должны предсказывать, мы же на разности зарабатываем) имеет память.

  • спасибо ₽
  • хорошо
  • +23

  • Ключевые слова:
  • технически анализ,
  • Броуновское движение,
  • эконометрика,
  • финансовые рынки,
  • грааль
  • комментировать

  • ★4
  • Комментарии ( 29 )
  • 15 ноября 2020, 10:15
  • |
  • Кухонный трейдер
  • Печать

Любой серьезный трейдер понимает, что движение цены для большинства ликвидных инструментов на бирже представляет собой некий случайный процесс. Для построения торговой системы нужно понимание его характеристик. В частности, акция, торгуемая большим числом независимых игроков с примерно равными капиталами, хорошо описывается броуновским движением.
Книга создана на основе курса из 13 лекций, прочитанных авторами в разные годы на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Материал значительно превышает рамки учебного курса, чтобы дать более глубокое представление о разнообразных разделах теории. Сложные доказательства вынесены в Приложения. Дополнения и упражнения помогают в усвоении материала.
Курс лекций предназначен для профессиональных математиков (даже не программистов) и не может быть понят обычным трейдером с экономическим образованием. Вот только часть используемых терминов: теоремы Ионеску-Тулчи, Колмогорова (и не одна), Штрассена, Радона-Никодима, Ароншайнена (для гильбертовых пространств), Гирсанова (об абсолютно непрерывной замене меры), разложение Карунена-Лоэва для винеровского процесса, польское пространство, принцип инвариантности Донскера-Прохорова, ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона, система страхования Крамера-Лундберга.


  • спасибо ₽
  • хорошо
  • +32
  • Ключевые слова:
  • случайный процесс,
  • Броуновское движение,
  • эргодическая теорема,
  • моделирование

  • комментировать
  • ★9
  • Комментарии ( 24 )

Неплохая статья о броуновском движении.

  • 01 мая 2014, 00:59
  • |
  • Дмитрий

  • Печать

Если кого-то интересуют только формулы, то художестенная часть заканчивается на 8 странице.

Некоторые считают, что на Броуновском движении заработать нельзя, но объяснений этого, я не видел. Если кому-то интересно, можно проанализировать в этой ветке, можно ли теоретически, заработать на броуновском движении или нет.

Иллюзии техничского анализа, или «опять броуновское движение»

В дополнение к этому посту
smart-lab.ru/blog/343711.php
Возможно, я напишу очевидные вещи.

Многие знают про сравнение рынков и броуновского движения, но приверженцев технического анализа это не задевает. Кто-то считает его лженаукой, и я в целом тоже. А кто-то — если не наукой, то искусством, только очень субъективным. Одна фигура «двойная перевёрнутая жопа с ручкой» чего стоит. По нему написаны тонны макулатуры, по нему даже есть вопросы в экзамене ФСФР, звиздец 🙂

Ни разу не слышал, чтобы крупные алгоритмические хедж-фонды с сотнями математиков и программистов и миллиардными доходами заморачивались техническим анализом или занимались гаданием на кофейной гуще. Грубо говоря, всё, что они делают, — статистический арбитраж, т.е. тот самый поиск рыночных неэффективностей. В книге «Кванты» об этом написано. В общем, ничего нового.

Почему рынки стремятся к броуновскому движению? Очень просто. Мы зарабатываем на разности цен — купили дешевле, продали дороже. Я не математик и не буду тут какие-то выкладки делать, поэтому берём самый простой случай. На одном тике мы должны купить или продать, на следующем — закрыть сделки. Т.е. нам надо предсказать РАЗНИЦУ между двумя тиками. Что невозможно предсказать? Любое случайное число. Чтобы не было выгоды ни покупателям, ни продавцам, матожидание случайной величины должно быть равно 0. Т.е. берём процесс I(0) — это последовательность случайных чисел с матожиданием 0, а I(1) — её интеграл, который мы видим на графиках. Если это будет другой процесс, слишком многие начнут зарабатывать, пока всё опять не выровняется.

У I(1) есть свойство: фрактальная размерность = 0.5, т.е. ось Y, она же волатильность, раздувается пропорционально квадратному корню оси X, т.е. времени. Процесс с размерностью 0 соответствует белому шуму, 0.25 — розовому, 0.5 — красному (обычно пишут Brown — только это значит не «коричневый», хотя по цвету подходит, а Броуновский), 1 — чёрному, -0.25 или -0.5 (не помню) — голубой. Белый, розовый и красный шум можно сгенерить в звуковом редакторе. Сами по себе шумы определяются через спектральную плотность на логарифмической шкале, но связь с фрактальной размерностью прямая. Есть ещё определения через индекс Хёрста или ещё какие индексы. На самом деле это всё одно и то же, просто разные системы координат.

Когда я вижу, как в книжках по эконометрике всё исследуют и исследуют какие-то характеристики случайных процессов (обычно околоброуновских, на которых нельзя заработать), не могу понять, зачем весь этот математический онанизм? Авторы этой херни придумали какую-то стратегию, что-то заработали на рынке? Зачем надо так усиленно изучать рынок, которого нет, и на котором ты не собираешься заработать (потому что его нет и потому что на нём в принципе нельзя заработать)?


Каюсь, сам когда-то пытался создать стратегию заработка на броуновском движении. Ну, хорошо, доказал кто-то там в 19 веке, что это невозможно. А вдруг возможно? 🙂 Ну, небольшой результат есть: после прочтения книг про фрактальную размерность, индекс Хёрста и цвета шумов пришёл к выводу, что можно заработать на любом не-броуновском шуме, т.е. с размерностью, отличной от 0.5. Просто для разных коэффициентов нужны разные стратегии. Говоря по-человечески, меньше 0.5 — контртрендовые, больше 0.5 — трендовые 🙂 На самом деле, ничего удивительного, т.к. для всех таких процессов первая разность (т.е. то, что мы должны предсказывать, мы же на разности зарабатываем) имеет память.

Хорошая новость в том, что на «броуновском рынке» на самом деле можно заработать, если вспомнить, что у него есть спред и ограниченная волатильность. Если спред широкий, инструмент почти не двигается, сделок много, в стакане никого нет, то вообще шикарно: знай себе стоим по обе стороны стакана и ловим сделки.
Чтобы на рынке в принципе невозможно было заработать, у реального рынка должны быть ещё:
— стремящийся к нулю спред, а точнее стремящееся к бесконечности отношение (волатильность / спред)
— бесконечная ликвидность
Это уже будет ближе к математической модели в вакууме.

Плохая новость в том, что те, кто знают хорошую новость, уже заняли свою нишу, сидят в стакане и выжидают свои сделки 🙂

С другой стороны.
Вот исторический график фьюча РТС, недельные свечки. Хоть убейте, но здесь трудно НЕ разглядеть последовательность хаёв, падающих всё быстрее и быстрее. Что это, самосбвыающееся пророчество или подгонка случайного графика под паттерн в голове?

Такую картинку вообще часто можно найти на любом графике, в т.ч. на случайном. Причём глаз зацепляется именно за падение хаёв и рост лоёв, но не наоборот. Видимо, мозг так устроен. А ещё цепляется за ускорение, а не замедление (т.е. ускорении при движении слева направо, а не справа налево), хотя в случайном процессе вероятность прямого и зеркльного паттерна одинакова.
Я обвёл хаи куском эллипса в пэйнте. Делал наспех, поэтому не совсем точно. А эллипс взял потому, что из примитивов пэйнта это наиболее подходящая кривая. Вообще, на самом деле, зная, что фрактальная размерность броуновского движения равен 0.5, т.е. ось y растёт пропорционально квадратному корню оси x, правильно рисовать боковую параболу y = sqrt(x), но в целом эллипс на неё похож, а параболы в пэйнте нет 🙂 С другой стороны, т.к. время идёт слева направо и мы видим ускорение, но не знаем заранее, когда всё это закончится, хочется отложить базис нашей фигуры где-нибудь слева, на самом графике. Не видя правой части, трудно поставить там базис параболы или эллипса, ведь они оагрничивают движение по оси Y — а вдруг индекс улетит в трубу или в небо? Вспоминается другая похожая кривая — экспонента.

Наблюдаю эти хаи на РТС с осени 2014, всё думал, неужели индекс может пасть так низко, а если мысленно продолжить кривую, находясь этак в конце 2020 и не видя того, что правее, может показаться, что конца не будет этому падению, и мы катимся в жопу 🙂 Январь-февраль 2020 подтвердили эти страхи, но потом кривая наконец-то сломалась. Экспонента не катит, индекс РТС и экономика России спасены! )))))

Можно насчитать 8 разделённых хаёв, ну, предпоследний немного ниже кривой. У моего эллипса три параметра — центр и две полуоси. У параболы тоже то ли 2, то ли 3. А хаёв не 3, а целых 8! Т.е. не совсем голая подгонка. Так всё-таки, что это? 🙂

Фондовый рынок: структура движения цен

Чем отличается казино от фондового рынка? Некоторые не видят в них принципиального различия. Однако, скорее всего, стоит согласиться с автором, который приходит к совершенно определенному выводу: казино много проще.

Случай с рулеткой

Споры о том, является ли фондовый рынок концентрированным выражением состояния дел в экономике, или это казино, не прекращаются уже много лет. При этом под словом «казино» понимают полную случайность торговых результатов и бессмысленность вложений в акции. Оппоненты возражают, что биржа – это не казино, а именно то место на Земле, где каждый, приложив ум и старание, может разбогатеть. И обе стороны употребляют слово «казино» с некоторым пренебрежением.


Прежде чем присоединяться к общему хору, попробуем разобраться в механизмах функционирования биржи и казино. Возможно, подробное рассмотрение внутренних механизмов позволит изменить мнение как о казино, так и о фондовом рынке.

Вначале подробнее остановимся на казино. Для примера разберем случай с рулеткой. Клиент просто ставит на чет или нечет, на красное или черное, а также на какой-либо конкретный номер. Он делает ставку. В любом случае еще до того момента, когда шарик остановится, он в точности знает сумму, которую может потерять.

Если, получив отрицательный результат, клиент казино вновь желает продолжить игру, то и тогда он не проиграет больше ставки. Сумма максимального выигрыша также заранее известна, как известны и вероятности исходов для каждой ставки.

А теперь обратимся к работе трейдера. В большинстве книг для начинающих обязательно отмечается, что выигрыш на бирже может быть сколь угодно большим, равно как и проигрыш. Каждый трейдер имеет свою торговую систему, которая подает сигналы, открывающие и закрывающие позиции. В каждом случае суммы прибыли и убытка различны. Трейдер сам определяет потенциальный доход и максимальные потери, которые готов принять при неблагоприятном исходе.

Принцип ставки

Представим себе простейшую торговую систему, которая основывается на дневных графиках. Предположим, что трейдер открывает позицию в начале биржевого дня и закрывает в конце. Внутридневные колебания для многих акций достигают нескольких процентов, поэтому потенциал прибыли значителен. В период роста рынка количество дней, закрывшихся с приростом, превышает число дней, в которые цены падали. И, наоборот, на медвежьем тренде количество «отрицательных» дней превосходит количество «положительных». Очень простая и, казалось бы, прибыльная система, однако не всегда встретишь человека, желающего ею воспользоваться. Причина в том, что в разные дни цены проходят разные расстояния. И один день против тренда может поглотить накопленную прибыль предыдущих дней. Вот тут стоит вспомнить казино. Если бы прирост или падение каждого дня всегда имели одинаковое значение, то подобные системы были бы работоспособными. Система могла бы быть прибыльной, если бы соблюдался принцип ставки – убыток и прибыль заранее известны. Действительно, разница между благоприятными и неблагоприятными днями, умноженная на величину ставки, определяет сумму прибыли подобной системы. Принцип ставки – первое преимущество казино перед фондовым рынком.

Еще два преимущества

Цены большинства финансовых инструментов движутся непрерывно, практически все 24 часа. Нет начала и конца этому движению. Трейдер сам определяет для себя моменты начала и окончания сделки. Разберемся подробнее, к чему приводит подобная свобода выбора.

Каждый, кто хоть раз самостоятельно совершал сделки, знает, насколько психологически легко открыть позицию и насколько трудно ее закрыть. Если трейдер наблюдает текущую прибыль, то, следуя многочисленным советам как можно дольше «стоять в прибыли», он надеется на дальнейший рост. Если цены внезапно упали – надеется на возобновление роста, если продолжили падение – на разворот рынка. Обычно такая тактика приводит к значительным потерям. Однако и ранний выход из позиции – не панацея: убыток можно накапливать большим количеством отрицательных сделок. А тот, кто берет маленькую прибыль, не сможет покрывать убытки. В любом случае трейдер стремится определить какие-либо временные рамки для бесконечного движения цен. Разберем действия игрока в казино. Момент начала игры четко определен, момент окончания тоже. После того, как шарик рулетки показал выигрышный номер, – «сделка» завершилась. Если игрок получил проигрыш, то следующее вращение колеса рулетки не сможет повлиять на его результат. Чтобы продолжить игру, надо сделать новую ставку. В казино нельзя, сделав одну ставку, накапливать прибыль или убыток.

Таким образом, второе преимущество казино – четкие временные границы «сделки»: моменты ее начала и окончания четко регламентированы, и игрок не в силах ничего изменить. Это надежно защищает его от возможности надолго оставаться в открытой позиции, что не редкость на бирже. На поведение цен влияет огромный поток информации, который буквально сваливается на голову трейдера. Попытка переварить всю информацию приводит к большим временным затратам, но не всегда дает верный анализ. В казино новости не используют для анализа вероятности исхода следующей ставки. Третье преимущество казино – отсутствие напряженной аналитической работы.

А кто-нибудь видел в казино человека, делающего технический анализ по «историческим данным»? Считается, что итог каждой ставки в казино носит сугубо случайный характер. Если кто и пытается построить выигрышную систему, то опирается только на управление капиталом.


На биржевых рынках, особенно начинающие трейдеры, основной упор делают на технический анализ. Спор о характере движения биржевых цен пока не разрешен. Попробуем проанализировать внутреннюю структуру их движения.

Броуновское движение

Представим цены биржевых продуктов в виде двумерного процесса. Одной составляющей будет абсолютное изменение за один день, другой – знак этого изменения, который может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, росли или падали цены в этот день. Теперь цену закрытия каждого дня можно представить в виде координат. На оси Х отложим целые положительные и отрицательные числа, а по оси Y – абсолютные значения цен. В качестве примера воспользуемся историческими данными всемирно известной компании «Интел» (INTC). На рисунке 1 представлен график движения цен акций компании в новых координатах. Подробно разберемся, как строится график по оси X. Данные представлены со 2 января 1998 г., общая продолжительность серии – 700 дней. В первый день цены закрылись на отметке $17.96. Координаты начальной точки зададим как (0, 17.96). На следующий день цена незначительно выросла – координаты следующей точки (1, 18.43), еще через день упала – координаты (0, 18.03).

Чтобы получить координаты по оси X, нужно к координате предыдущего дня добавить 1 (день закрылся «в плюс») или -1 (в этот день цены упали). Таким образом отражается серия из независимых приращений. Если значение шкалы X имеет положительное значение, то количество дней, закрывшихся с ростом цен, превышает количество дней падения. Если значения имеют отрицательный знак, значит, был период, когда цены чаще падали, чем росли.

В начале графика видна зона, где цены консолидировались в диапазоне от 15 до 25. Временная составляющая на графике отсутствует, поэтому трудно сказать, сколько времени цены находились в этом диапазоне. Уверенно можно утверждать, что количество дней роста превысило количество дней падения, и иногда эта разница достигала 11. Визуально движение в данной области напоминает хаотичное броуновское движение. Затем цены прорывают уровень 25 и попадают в диапазон 25-35. При этом суммарное количество «положительных» дней также возрастает, что подтверждает наличие восходящего тренда. Подобные пробои уровней повторяются еще несколько раз, пока цены, достигнув максимального значения, близкого к отметке 75, не начинают стремительно падать. График наглядно показывает, что движение цен в основном носит случайный характер. Цены могут длительное время находиться в пределах неких границ, совершая абсолютно хаотичные движения. Тренд можно представить как переход из одной такой области в другую, более высокую для восходящего тренда. Падают цены по другой закономерности – внезапно, резко и могут не оставлять зон консолидации.

Зоны консолидации

Практическое применение подобных графиков ограничено. На них нельзя в полной мере применять все многообразие технических индикаторов. График можно использовать для понимания внутренней структуры движения цен. Еще раз обратим внимание на зоны консолидации. Первая зона (на оси X диапазон 0-11) больше растянута по горизонтали, следующая зона (7-15) наклонена примерно под углом 45 градусов. Цены в следующей зоне движутся преимущественно вертикально. В чем смысл этих наблюдений? В первом случае рост накапливается множеством положительных дней. Прирост цен невелик, а вот падают цены значительно. Хотя отрицательных дней меньше, они не дают вырасти ценам. Это именно тот случай, когда один отрицательный день перекрывает несколько положительных.

Во второй зоне абсолютные значения роста и падения примерно равны, цены растут из-за превышения количества дней роста над днями падения. Восходящий тренд продолжается. Третья зона показывает, что основной рост происходит из-за того, что в дни роста цены поднимаются значительно, а в дни падения откат невелик. Эти рассуждения подтверждают, что внутренняя структура движения цен на бирже двумерна в отличие от серии ставок в казино, а следовательно, еще более непредсказуема. Если в виде подобного графика представить серию ставок в казино, то это была бы прямая линия с наклоном в 45 градусов для ставки в $1, максимальный выигрыш в этой серии составил бы $34. А вот цена акции достигла $75 и в итоге упала в район $40, при этом совершая непредсказуемые движения. Еще большее казино Итак, согласимся, что биржа – еще большее «казино», чем казино. Однако возникает вопрос: почему зарабатывать деньги идут на биржу? Основная причина в том, что теоретически обыграть заведение нетрудно, практически же невозможно.

Действительно, чтобы переиграть казино, нужно сделать ставку больше, чем заведение. Достигается это довольно просто – следует после проигрыша удваивать ставку. Такую тактику может позволить себе «денежный мешок», но в казино размер ставки ограничен, о математике там тоже знают. Казино, таким образом, надежно защищено.

А вот на бирже можно делать любую ставку, лишь бы была ликвидность. Каждый трейдер пытается биржу переиграть. Кроме того, в казино каждая последующая ставка вероятностно независима от предыдущей. На бирже часто возникают продолжительные серии роста или падения. Это обусловлено зависимостью будущих результатов биржевого дня от закрытия цен в предшествующий. Возникают тренды, которые могут длиться несколько лет и даже десятков лет. Своевременное открытие «правильной» позиции приносит значительную прибыль. Сравнивать биржу и казино можно очень долго и по многим критериям. Суть всех рассуждений сводится к тому, что при разработке собственной торговой системы трейдеру нужно внести в нее все лучшее, что могут дать принципы казино. При этом следует сохранить все положительные моменты биржевой торговли. А на замечания, что фондовый рынок – это казино, можно ответить: казино проще.


Броуновское движение

Самой простой (и, как следствие, наиболее привлекательной) моделью случайной флуктуации (колебаний) является «броуновское движение»; в такой модели постулируется непрерывность цен и то что, их последовательные изменения суть независимые гауссовские случайные величины (где предшествующие изменения цены не связаны с прошлыми или будущими ее изменениями), т.е. рынок не обладает памятью, он воспринимает вновь поступившую информацию и мгновенно забывает о прошлых событиях. Пример броуновского движения можно увидеть на рис. 5.

В броуновском движении независимы не положения частицы в разные моменты времени – смещение частицы в течении одного промежутка времени не зависит от ее же смещения в течение другого интервала времени. Увеличив разрешение микроскопа и временное разрешение, мы вновь получим подобное случайное блуждание, броуновское движение самоподобно! (рис. 6).

На рис. 6 показаны положения частицы регистрируемые на каждом втором шаге процесса из 10000 независимых шагов движения частицы. Каждое приращение (интервал) здесь – сумма 2-х независимых шагов. Этот рисунок показывает, как координата частицы меняется со временем 2t. Кривая представляет собой дискретный набор точек с определенным временным интервалом, между их фиксацией рис. 7.

На рис. 8 показаны положения частицы регистрируемые на каждом четвертом шаге процесса из 10000 независимых шагов движения частицы. Как видно, что рис. 8 мало чем отличается от рис. 9, разве, что временным масштабом приращений, которые теперь стали вдвое больше. На грубом примере это можно представить, как если бы мы в первом случаи при фиксации точек отрывали карандаш на 2 секунды, а во втором на 4. Свойство броуновских диаграмм не менять «вида» при изменении разрешения называется масштабной инвариантностью броуновских диаграмм.

Для тех, кто не видит схожести между рисунками я сделал рис. 1, для того чтобы было более понятно, что они действительно похожи. О том, почему я так перевернул рис. 1 мы поговорим в главе «Зеркальность биржевых цен».


Итак, давайте подведем небольшой итог выше сказанному. Броуновское движение не зависит от прошлых событий, однако оно самоподобно в течении одного, независимого от другого, промежутка времени. Как видно из рис. 8, 10 они очень напоминают ход биржевых цен. Пока мы можем только сказать, что есть схожесть, но броуновское движение описывается нормальным распределением (рис. 3), которое не соответствует реальному поведению цен.

Если теория предельной центральной теоремы постулирует непрерывность цен, то значения цен встречающиеся в действительности таковыми не являются. При этом каждый раз, когда цена терпит сильный разрыв (рис. 11), к хвостам распределения изменения цены добавляется новая точка. Это говорит о том, что симптом «длинных хвостов» тесно связан с симптомом «разрывности в цене».

Имея дело с котировками на валютном рынке надо быть готовым встретить скачки, которые сохраняют свое значение даже с долговременной точки зрения. Теоретическое обоснование выше сказанному можно подтвердить на следующих примерах: и спрос, и предложение, определяющие цену, определяются как объективными факторами, так и предчувствиями.

Давайте разберемся, как же может быть так, что цены все же являются броуновским движением, но при этом будут иметь распределение изображенное на рис. 3 Для того, что бы ответить на поставленную нами задачу нам необходимо познакомиться с показателем Херста.

По нашей оценке, на 23.09.2020 г. лучшими брокерами являются:

• для торговли валютами – NPBFX;

• для торговли бинарными опционами – Intrade.bar;

• для инвестирования в ПАММы и др. инструменты – Альпари;


Гарольд Эдвин Херст (1880-1978) – английский физик, ставший великим «нилологом» и заслуживший прозвище Абу Нил, «отец Нила». Наука обязана ему одним замечательным статистическим изобретением и одним замечательным эмпирическим (практическим) открытием, которые связаны с идеей об измерении интенсивности некоторой хроники (событий) стремиться быть циклической, но НЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ, – поведение, представляющее собой один из аспектов долговременной статистической зависимости прошлого от будущего.

Здесь мы вспомним про нашу частицу, движение которой представляется броуновским. Мы помним, что координаты частицы в одном промежутке времени подобны ее же координатам в другом промежутке, однако появление циклов носит не периодический характер, т.е. мы не знаем дальнейшее положение частицы через определенное время t.

Херст, не отдавая себе в этом отчета, ввел новую статистическую технику, основанную на выражении R(t, d)/S(t, d). Этот метод был назван R/S анализ. В данной книге мы не будем разбирать этот метод, поскольку он не имеет прямого отношения к нашей с вами задаче, для тех кому интересно применение данного анализа к биржевым ценам, могут прочесть Эдгара Петерса «Фрактальный анализ финансовых рынков». Нас же больше интересует результат, который получил Херст, используя данный метод.

Эмпирическое открытие Херста состоят в том, что диаграммы R/S, относящиеся к эмпирическим хроникам, в общем случае состоят из кривых, тесно обвивающих некоторую прямую, но УГОЛ наклона Н этой прямой изменяется от случая к случаю. Проще говоря, различные кривы ведут себя очень по-разному, они располагаются вблизи некоторой прямой, угол наклона которой, Н, зачастую превосходит 0,5 (т.е. не соответствует нормальному распределению). Показатель Херста изображен на рис. 12.

Волнистой линей изображен временной ряд (совокупность наблюдаемых параметров изучаемой системы во времени) цен. Прямая линия представляет собой показатель Н (Херста) расположенную под углом со значением 0,5.

Когда Н = 0,5 график будет соответствовать нормальному распределению и являться случайным. Если 0 0,5, исключает гипотезу о том, что все величины являются независимыми и гауссовскими, а феномен Херста есть ни что иное как проявление самоафинности.

Что такое самоафинность мы рассмотрим в разделе курса 4 «Генератор – золотой Грааль на рынке», сейчас нас больше интересует такое понятие, как: обобщенное броуновское движение.

Обобщенное броуновское движение было введено Мандельбротом через обобщение случайной функции X(t) (случайные блуждания) путем замены показателя Н = 0,5 на любое действительное число из интервала 0

ФОРЕКС БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

Доллар занимает место на старте в пятницу в ожидании выступления главы ФРС Джанет Йеллен, которое, вероятно, прольёт свет на перспективы повышения ставок в текущем году. Консенсус рынка на данный момент сводится к тому, что намека на повышение ставки в сентябре не будет по причине скорой публикации важного отчета по занятости за август и выборов президента США в ноябре.


Ожидается намек на повышение ставки в декабре без указания самого месяца. Реакция доллара будет определяться тональностью выступления, направление его движения, возможно, будет меняться несоклько раз, и только спустя час-два после выступления г-жи председателя может сформироваться единая трендовая динамика.

Не исключено, что рынок так и останется в подвешенном, диапазонном, состоянии, поскольку Йеллен не отличается твердостью воли и речи, в отличии от своих предшественников. В 17:00 мск начнется ее выступление на конференции банкиров в Джексон-Хоул в штате Вайоминг.

Многие аналитики считают, что глава регулятора будет придерживаться своей обычной позиции и обойдется без конкретики, напомнив о зависимости денежно-кредитной политики от макроэкономических данных.

«Она является одним из прагматичных и сбалансированных спикеров Думаю, она оставит возможность для подъёма ставок в текущем году, но я не считаю, что политика ФРС сдвинется с места раньше декабря», — сказала Дженнифер Вейл из U.S. Bank Wealth Management в Портленде. «Рынок может среагировать на одно слово, одну фразу, но я не думаю, что её (Йеллен) речь задаст новый тренд в динамике пары доллар/иена», — сказал Масаси Мурата из Brown BrothersHarriman в Токио.

В четверг на симпозиуме несколько представителей ФРС сделали заявления относительно возможного повышения процентной ставки. Так, глава ФРБ Канзас-Сити Эстер Джордж отметила, что состояние рынка труда и уровень инфляции в сочетании с прогнозными показателями ФРС дают возможность повысить ставку. Она является закоренелым «ястребом» и каждый раз голосует за повышение ставки.

«Когда я рассматриваю ситуацию на рынке труда, смотрю на инфляцию и прогнозы для нее, я думаю, что пришло время действовать», — сказала она. Джордж отметила, что не знает, сможет ли что-либо повлиять на ее решимость до сентябрьского заседания ЦБ. Она пояснила, что не пытается «охладить экономику» за счет перехода к более высоким процентным ставкам. По ее мнению, в настоящее время целесообразно начать процесс нормализации процентных ставок. Однако повышение ставок должно быть плавным, подчеркнула Джордж.

Глава ФРБ Далласа Роберт Каплан также назвал ситуацию благоприятной для повышения ставок в скором времени, не назвав, однако, конкретных сроков этого. После этих выступление шанс на повышение ставки в сентябре сильно возрос и составляет теперь 32% вероятности, что на 12 пунктов выше, чем несколькими днями ранее. Если это тренд в риторике, заданный Дадли, Уильямсом и Фишером, то, возможно, мы ошибаемся, и речь Йеллен будет на удивление жесткой.

Геометрическое броуновское движение как базовая модель динамики стоимости высоколиквидных акций

Первая попытка математического описания динамики курсовой стоимости акций, основывающаяся на подходах теории вероятностей, была предпринята Л. Башелье в работе, посвященной анализу цен на парижской фондовой бирже [1] . Башелье впервые рассматривал процесс ценообразования как случайный процесс. Проведя подробный статистический анализ экспериментальных данных, он заметил, что динамика изменения цен соответствуют процессу случайного блуждания. Концепцию ценообразования на финансовые активы, предложенную Башелье, можно на современном математическом языке выразить с помощью стохастического дифференциального уравнения следующего вида:

где cdt — трендовая составляющая изменения цены за бесконечно малый промежуток времени dt> odWt шумовая (случайная) компонента данного изменения.

Башелье внес неоценимый вклад в теорию стохастического моделирования, став, по сути, родоначальником применения вероятностных подходов в теории финансов. Несмотря на это, его взгляды на процессы ценообразования, как позже было показано П. Самуэльсоном, во многом были ошибочны. Явные недостатки, присущие модели, отвечающей зависимости (2.45), можно сформулировать следующим образом.


  • 1. Дело в том, что цены активов не могут быть отрицательны. В то же время уравнение (2.45), очевидно, допускает возможность принятия величиной Xt отрицательных значений. Для преодоления указанного противоречия в финансовой теории принято рассматривать в качестве моделируемого процесса не сами цены Хп а их относительные приращения, или доходности.
  • 2. Зависимость (2.45) предполагает, что абсолютные изменения цены ДХ(?) независимы от величины X(t). Однако в реальности это не совсем так. Абсолютное изменение цены более дорогого актива будет ожидаться в среднем большим, чем абсолютное изменение более дешевого актива. Скорее следует ожидать, что независимыми от AX(t) будут пропорциональные изменения в цене актива AX(t)/X(t). В свою очередь, пропорциональные, или процентные, изменения могут быть одинаковыми независимо от цены актива.
  • 3. Постоянные значения коэффициента с в формуле (2.45) не учитывают возможные изменения тренда (тенденции) в динамики цены с повышательного на понижательный и наоборот.
  • 4. Наблюдения показывают, что интенсивность шумовой составляющей цены а также очевидным образом изменяется в различные периоды времени.

С целью преодоления указанных недостатков вместо случайного процесса, описываемого стохастическим дифференциальным уравнением (2.45), была предложена его следующая модификация, являющаяся частным случаем диффузионного процесса, или процесса Ито:

где S — заданное начальное значение цены, ct= c(t, со), af= cy(t, со) — некоторые измеримые случайные функции времени, при этом величина ct носит название коэффициента сноса, aafкоэффициента волатильности (в ангоязычной литературе соответственно — drift и volatility).

Случайный процесс xt, описываемый уравнением (2.46), называется процессом геометрического броуновского движения. Следуя П. Самуэль- сону [2] , впервые предложившему использовать данный процесс в моделях динамики экономических переменных, его также называют экономическим броуновским движением.

Для моделирования траекторий геометрического броуновского движения на заданном промежутке времени [0; 7] можно использовать метод Монте-Карло. На рис. 2.9 приведена одна из возможных траекторий этого случайного процесса на интервале [0; 1] с начальным значением Х = 10.

Рис. 2.9. Траектория геометрического броуновского движения на интервале

Из рис. 2.9 ясно, что по крайней мере визуально траектории геометрического броуновского движения соответствуют графикам изменения цен различных рисковых финансовых активов, например акций.

Стохастическое дифференциальное уравнение (2.46) с постоянными коэффициентами с, = с и at = а имеет явное решение следующего вида:

называют броуновским движением с локальным сносом a-G 2 /2 и диффузией а 2 .


Длительный опыт использования модели геометрического броуновского движения на финансовых рынках применительно к задачам управления портфелем высоколиквидных активов и к оценке стоимости различных финансовых инструментов показал ее несомненную адекватность.

В частности, известная теория ценообразования опционов Блэка — Шоулза полностью построена на предпосылке о том, что цены базовых активов, на которые заключаются опционные контракты, изменяются в соответствии с процессом геометрического броуновского движения [3] . Более подробно способ проверки адекватности модели геометрического броуновского движения для оценки доходности инвестиционного портфеля на основе понятия теоретической и реальной прибыли будет дан в гл. 5.

С другой стороны, несмотря на простоту модели геометрического броуновского движения, оценка ее параметров (ct и су,) в режиме онлайн на фондовых рынках весьма затруднительна. Параметр сноса ct, как правило, вообще не оценивается надежно по результатам наблюдений за динамикой цен активов. Тем не менее, как было указано в первой (вводной) главе, динамика высоколиквидных активов на фондовых рынках характеризуется наличием свойства квазиэргодичности, весьма важном при оценке прибыльности инвестиционного портфеля и расчете стоимости финансовых инструментов. Вообще говоря, процесс геометрического броуновского движения следует использовать прежде всего в качестве модели ценообразования высоколиквидных акций при построении управления портфелем ценных бумаг или при определении справедливых цен соответствующих производных финансовых инструментов.

Здесь важно отметить, что инвестиционный портфель необязательно включает в себя высоколиквидные акции, торгуемые на фондовом рынке. Он может содержать и ряд высоликвидных активов, NPV [4] (чистая текущая стоимость, или в англоязычной литературе net present value) которых может во многих случаях описываться моделью геометрического броуновского движения даже с постоянными коэффициентами сноса и волатильности. В качестве таких активов могут выступать, в частности, фирмы, доходности деятельности которых подвержены определенным случайным флуктуациям. Подробно данные вопросы будут рассмотрены в гл. 4.

Практикум трейдера — Броуновское движение, как модель для прогнозирования финансовых активов

«Броуновское движение, как модель для прогнозирования финансовых активов.»

Самой простой (и, как следствие, наиболее привлекательной) моделью случайной флуктуации (колебаний) является «броуновское движение»; в такой модели постулируется непрерывность цен и то что, их последовательные изменения суть независимые гауссовские случайные величины (где предшествующие изменения цены не связаны с прошлыми или будущими ее изменениями ), т.е. рынок не обладает памятью, он воспринимает вновь поступившую информацию и мгновенно забывает о прошлых событиях. Пример броуновского движения можно увидеть на рис.1

В броуновском движении независимы не положения частицы в разные моменты времени – смещение частицы в течении одного промежутка времени не зависит от ее же смещения в течение другого интервала времени. Увеличив разрешение микроскопа и временное разрешение, мы вновь получим подобное случайное блуждание, броуновское движение самоподобно (рис.2).

На рис.3 показано положение частицы, регистрируемое на каждом втором шаге процесса из 10000 независимых шагов движения частицы. Каждое приращение (интервал) здесь – сумма 2 — х независимых шагов. Этот рисунок показывает, как координата частицы меняется со временем 2t.

На рис.4 показано положение частицы, регистрируемое на каждом четвертом шаге процесса из 10000 независимых шагов движения частицы. Как видно, что рис.3 мало чем отличается от рис.4, разве что временным масштабом приращений, которые теперь стали вдвое больше. На грубом примере это можно представить, как если бы мы в первом случаи при фиксации точек отрывали карандаш на 2 секунды, а во втором на 4. Свойство броуновских диаграмм не менять «вида» при изменении разрешения называется масштабной инвариантностью броуновских диаграмм .


И так давайте подведем небольшой итог выше сказанному. Броуновское движение не зависит от прошлых событий, однако оно самоподобно в течении одного, независимого от другого, промежутка времени. Как видно из рисунка 3 и 4, они очень напоминают ход биржевых цен. Пока мы можем только сказать, что есть схожесть, но броуновское движение описывается нормальным распределением (рис.5), которое не соответствует реальному поведению цен.

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

На рис.6 изображена более реалистичная модель, которая соответствует поведению финансовых активов.

Как же может быть так, что цены все же являются броуновским движением?

Для того, что бы ответить на поставленную задачу нам необходимо познакомиться с показателем Херста.

Гарольд Эдвин Херст (1880-1978) – английский физик, ставший великим «нилологом» и заслуживший прозвище Абу Нил, «отец Нила». Наука обязана ему одним замечательным статистическим изобретением и одним замечательным эмпирическим (практическим) открытием, которые связаны с идеей об измерении интенсивности некоторой хроники (событий) стремиться быть циклической, но НЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ, — поведение, представляющее собой один из аспектов долговременной статистической зависимости прошлого от будущего

Здесь мы вспомним про нашу частицу, движение которой представляется броуновским. Мы помним, что координаты частицы в одном промежутке времени подобны ее же координатам в другом промежутке, однако появление циклов носит не периодический характер, т.е мы не знаем дальнейшее положение частицы через определенное время t.

Херст, не отдавая себе в этом отчета, ввел новую статистическую технику, основанную на выражении R(t, d)/S(t, d). Этот метод был назван R/S анализ. В данной статье мы не будем разбирать этот метод, поскольку он не имеет прямого отношения к нашей с вами задаче, для тех кому интересно применение данного анализа к биржевым ценам могут прочесть Эдгара Петерса «Фрактальный анализ финансовых рынков». Нас же больше интересует, результат который получил Херст используя данный метод.

Эмпирическое открытие Херста состоят в том, что диаграммы R/S, относящиеся к эмпирическим хроникам, в общем случае состоят из кривых, тесно обвивающих некоторую прямую, но УГОЛ наклона Н этой прямой изменяется от случая к случаю. Проще говоря различные кривы ведут себя очень по – разному, они располагаются вблизи некоторой прямой, угол наклона которой, Н, зачастую превосходит 0,5 (т.е не соответствует нормальному распределению). Показатель Херста изображен на рис.7

Волнистой линей изображен временной ряд (совокупность наблюдаемых параметров изучаемой системы во времени) цен. Прямая линия представляет собой показатель Н (Херста) расположенную под углом со значением 0,5

Когда Н = 0,5 график будет соответствовать нормальному распределению и являться случайным. Если 0 0,5 , исключает гипотезу о том что все величины являются независимыми и гауссовскими.

Обобщенное броуновское движение было введено Мандельбротом через обобщение случайной функции X(t) (случайные блуждания) путем замены показателя H = 0,5 на любое действительное число из интервала 0

Броуновское движение

Бро́уновское движе́ние или pedesis (от древнегреческого: πήδησις / pέːdεːsis / «прыжок») — это случайное движение частиц, взвешенных в жидкости (жидкости или газе) в результате их столкновения с быстро движущимися молекулами в жидкости. [1]

Внешние видеофайлы
Броуновское движение в воде

Броуновское движение является наглядным экспериментальным подтверждением хаотического теплового движения атомов и молекул, являющегося фундаментальным положением молекулярно-кинетической теории. Если промежуток наблюдения гораздо больше, чем характерное время изменения силы, действующей на частицу со стороны молекул среды, и прочие внешние силы отсутствуют, то средний квадрат проекции смещения частицы на какую-либо ось пропорционален времени. Это положение иногда называют законом Эйнштейна.

Кроме поступательного броуновского движения, существует также вращательное броуновское движение — беспорядочное вращение броуновской частицы под влиянием ударов молекул среды. Для вращательного броуновского движения среднее квадратичное угловое смещение частицы пропорционально времени наблюдения.

Содержание

Броуновское движение происходит из-за того, что все жидкости и газы состоят из атомов или молекул — мельчайших частиц, которые находятся в постоянном хаотическом тепловом движении, и потому непрерывно толкают броуновскую частицу с разных сторон. Было установлено, что крупные частицы с размерами более 5 мкм в броуновском движении практически не участвуют (они неподвижны или седиментируют), более мелкие частицы (менее 3 мкм ) двигаются поступательно по весьма сложным траекториям или вращаются.

Когда в среду погружено крупное тело, то толчки, происходящие в огромном количестве, усредняются и формируют постоянное давление. Если крупное тело окружено средой со всех сторон, то давление практически уравновешивается, остаётся только подъёмная сила Архимеда — такое тело плавно всплывает или тонет.

Если же тело мелкое, как броуновская частица, то становятся заметны флуктуации давления, которые создают заметную случайно изменяющуюся силу, приводящую к колебаниям частицы. Броуновские частицы обычно не тонут и не всплывают, а находятся в среде во взвешенном состоянии.

Философская поэма римского поэта Лукреция «О природе вещей» (60 до н. э.) имеет описание броуновского движения пылевых частиц в стихах 113—140 из книги II. Он использует это как доказательство существования атомов:

«Посмотрите, что происходит, когда солнечные лучи проникают в здание и проливают свет на его темные места. Вы увидите множество крошечных частиц, смешивающихся множеством способов… их танец является фактическим указанием на скрытые от нашего взгляда движения материи… Они возникают из атомов, которые движутся сами по себе (то есть спонтанно). Затем те небольшие составные тела, которые меньше всего удалены от импульса атомов, приводятся в движение воздействием их невидимых ударов и, в свою очередь, приводят к движению немного больших тел. Таким образом, движение поднимается от атомов и постепенно выходит на уровень наших чувств, так что те тела в движении, которые мы видим в солнечных лучах, движутся ударами, которые остаются невидимыми.»

Хотя смешивающееся движение пылевых частиц вызвано в основном воздушными потоками, прерывистое, кувыркающееся движение мелких пылевых частиц действительно вызвано в основном истинной броуновской динамикой.

Примерно в 1785 году, Ингенхауз Ян систематически изучал броуновское движение частиц угольной пыли на поверхности спирта. В 1827 году Роберт Броун (Браун) переоткрыл броуновское движение наблюдая пыльцевые зёрна в жидкости.

Наиболее точные исследования броуновского движения в XIX веке провёл французский физик Луи Жорж Гуи. Он установил, что интенсивность броуновского движения возрастает с уменьшением внутреннего трения жидкости, никак не зависит от интенсивности освещения и внешнего электромагнитного поля. Он также пришёл к выводу, что броуновское движение вызвано влиянием теплового движения молекул. Л. Ж. Гуи оценил скорость броуновских частиц, она оказалась равной приблизительно одной стомиллионной молекулярной скорости [2] .

Математическое изучение броуновского движения было начато А. Эйнштейном [3] , П. Леви [4] [5] и Н. Винером [6] [7] [8] [9] [10] .

Построение классической теории Править

В 1905 году Альбертом Эйнштейном была создана молекулярно-кинетическая теория для количественного описания броуновского движения [11] . В частности, он вывел формулу для коэффициента диффузии сферических броуновских частиц [12] :

При выводе закона Эйнштейна предполагается, что смещения частицы в любом направлении равновероятны и что можно пренебречь инерцией броуновской частицы по сравнению с влиянием сил трения (это допустимо для достаточно больших времён). Формула для коэффициента D основана на применении закона Стокса для гидродинамического сопротивления движению сферы радиусом a в вязкой жидкости.

Коэффициент диффузии броуновской частицы связывает средний квадрат её смещения x (в проекции на произвольную фиксированную ось) и время наблюдения τ :

Среднеквадратичный угол поворота броуновской частицы φ (относительно произвольной фиксированной оси) также пропорционален времени наблюдения:

Здесь Dr — вращательный коэффициент диффузии, который для сферической броуновской частицы равен

Экспериментальное подтверждение Править

Формула Эйнштейна была подтверждена опытами Жана Перрена [11] и его студентов в 1908—1909 гг., а также T. Сведберга [14] . Для проверки статистической теории Эйнштейна-Смолуховского и закона распределения Л. Больцмана Ж. Б. Перрен использовал следующее оборудование: предметное стекло с цилиндрическим углублением, покровное стекло, микроскоп с малой глубиной изображения. В качестве броуновских частиц Перрен использовал зёрнышки смолы мастикового дерева и гуммигута — густого млечного сока деревьев рода гарциния [15] . Для наблюдений Перрен использовал изобретенный в 1902 г. ультрамикроскоп. Микроскоп этой конструкции позволял видеть мельчайшие частицы благодаря рассеянию на них света от мощного бокового осветителя. Справедливость формулы была установлена для различных размеров частиц — от 0,212 мкм до 5,5 мкм , для различных растворов (раствор сахара, глицерин), в которых двигались частицы [16] .

Большого труда потребовала от экспериментатора подготовка эмульсии с частичками гуммигута. Смолу Перрен растер в воде. Под микроскопом было видно, что в подкрашенной воде находится огромное число желтых шариков. Эти шарики отличались по величине, они представляли собой твердые образования, которые не слипались друг с другом при соударениях. Чтобы распределить шарики по размеру, Перрен помещал пробирки с эмульсией в центробежную машину. Машина приводилась во вращение. За несколько месяцев кропотливой работы Перрену удалось наконец получить порции эмульсии с одинаковыми по размеру зернами гуммигута r

10 -5 см). В воду было добавлено большое количество глицерина. Фактически крошечные шарики почти сферической формы были взвешены в глицерине, содержащем лишь 12 % воды. Повышенная вязкость жидкости препятствовала появлению в ней внутренних потоков, которые бы привели к искажению истинной картины броуновского движения.

По предположению Перрена одинаковые по размеру зернышки раствора должны были расположиться в соответствии с законом распределения числа частиц с высотой. Именно для исследования распределения частиц по высоте экспериментатор сделал в предметном стекле цилиндрическое углубление. Это углубление он заполнил эмульсией, затем закрыл сверху покровным стеклом. Для наблюдения эффекта Ж. Б. Перрен использовал микроскоп с малой глубиной изображения .

Свои исследования Перрен начал с проверки основной гипотезы статистической теории Эйнштейна. Вооружившись микроскопом и секундомером, он наблюдал и фиксировал в освещенной камере положения одной и той же частицы эмульсии через одинаковые промежутки времени.

Наблюдения показали, что беспорядочное движение броуновских частиц приводило к тому, что они перемещались в пространстве очень медленно. Частицы совершали многочисленные возвратные движения. В итоге сумма отрезков между первым и последним положениями частицы была намного больше прямого смещения частицы от первой точки до последней.

Перрен отмечал и потом зарисовывал в масштабе на разграфленном листе бумаги положение частиц через равные временные интервалы. Наблюдения проводились через каждые 30 с. Соединяя полученные точки прямыми, он получал замысловатые ломанные траектории.

Далее Перрен определил число частиц в разных по глубине расположения слоях эмульсии. Для этого он последовательно фокусировал микроскоп на отдельные слои взвеси. Выделение каждого последующего слоя осуществлялось через каждые 30 микрон. Таким образом, Перрен мог наблюдать число частиц, находящихся в очень тонком слое эмульсии. Частицы других слоев при этом не попадали в фокус микроскопа. Используя этот метод, ученый мог количественно определить изменение числа броуновских частиц с высотой.

Опираясь на результаты этого эксперимента, Перрен смог определить значение постоянной Авогадро NА.

Способ расчета постоянной Больцмана k базировался на следующих рассуждениях.

Броуновские частицы, как и молекулы, находятся в беспорядочном движении. Соответственно, они подчиняются всем газовым законам. Из общих соображений можно показать, что средняя кинетическая энергия E k ¯ <\displaystyle <\overline >>> одной броуновской частицы равна средней кинетической энергии молекул при данной температуре T <\displaystyle T>, то есть:

Из этой формулы можно выразить число Авогадро N A <\displaystyle N_> :

Очевидно, что для определения числа Авогадро необходимо найти массу шариков гуммигута. С той целью Перрен выпаривал каплю раствора гуммигута. Взвесив сухой остаток, он сосчитал количество зернышек, затем определил размеры и массу каждого из них. [17]

Соотношения для вращательного броуновского движения были также подтверждены опытами Перрена, хотя этот эффект гораздо труднее наблюдать, чем поступательное броуновское движение.

Броуновское движение как немарковский случайный процесс Править

Хорошо разработанная за последнее столетие теория броуновского движения является приближенной. Хотя в большинстве практически важных случаев существующая теория даёт удовлетворительные результаты, в некоторых случаях она может потребовать уточнения. Так, экспериментальные работы, проведённые в начале XXI века в Политехническом университете Лозанны, Университете Техаса и Европейской молекулярно-биологической лаборатории в Гейдельберге (под руководством С. Дженей) показали отличие поведения броуновской частицы от теоретически предсказываемого теорией Эйнштейна — Смолуховского, что было особенно заметным при увеличении размеров частиц. Исследования затрагивали также анализ движения окружающих частиц среды и показали существенное взаимное влияние движения броуновской частицы и вызываемое ею движение частиц среды друг на друга, то есть наличие «памяти» у броуновской частицы, или, другими словами, зависимость её статистических характеристик в будущем от всей предыстории её поведения в прошлом. Данный факт не учитывался в теории Эйнштейна — Смолуховского.

Процесс броуновского движения частицы в вязкой среде, вообще говоря, относится к классу немарковских процессов, и для более точного его описания необходимо использование интегральных стохастических уравнений.

Эта статья приведёт Вас к успеху:  CТРАТЕГИИ ФОРЕКС — ОПИСАНИЕ, ШАБЛОНЫ
Добавить комментарий